PRIME NOZIONI DI MATEMATICA FINANZIARIA
Matematica Finanziaria : parte della matematica che tratta dell’impiego, nel tempo, di capitali monetari.
Capitale monetario : stock di beni espressi o trasformati in unità monetarie.
Teoria del Credito : parte della matematica finanziaria che tratta di
- Capitalizzazioni
- Rendite
- Prestiti e loro ammortamenti
(Altra parte della matematica finanziaria tratta la Teoria delle assicurazioni ma non rientra nella nostra osservazione).
1) I REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE
Insieme di principi economico-finanziari e di convenzioni che regolano lo svolgimento di una operazione finanziaria semplice o complessa
Capitalizzazione : modalità per la quale una somma maturata in un certo tempo da un capitale va ad aggiungersi al capitale che l’ha generata diventando anch’essa capitale.
Principio di equivalenza finanziaria : il valore dell’insieme delle prestazioni deve uguagliare il valore dell’insieme delle controprestazioni riferite ad una stessa scadenza.
L’operazione finanziaria può prevedere una sola prestazione e relativa controprestazione (operazione semplice o elementare quale ad esempio un deposito bancario ad interesse) oppure più prestazioni e relative controprestazioni (operazione complessa o composta quale un mutuo con restituzione rateale).
Simbologia ricorrente e definizioni semplificate:
C = capitale monetario (stock di beni espresso in moneta)
I = interesse (compenso che spetta a chi impiega un capitale)
i = tasso unitario di interesse (compenso per l’unità di capitale
nell’unità di tempo e cioè nel periodo di capitalizzazione)
n = numero intero di periodi di capitalizzazione
t = tempo di impiego espresso nell’unità di tempo di capitalizzazione (tutto il tempo in cui avviene l’operazione di capitalizzazione o di attualizzazione)
Ogni capitale monetario “impiegato” (prestato o investito) può produrre interesse quale contropartita del sacrificio sopportato dal prestatore di doversi privare dell’uso del capitale per un certo periodo di tempo.
Si ammette che la produzione di interesse possa avvenire in ogni istante e con continuità.
Un capitale è finanziariamente disponibile quando può essere impiegato.
Valuta o scadenza : è il momento temporale in cui un capitale diventa disponibile.
Due capitali espressi nella stessa unità monetaria non sono confrontabili se hanno valute diverse perché rappresentano grandezze non omogenee.
Nel momento in cui l’interesse si rende disponibile diventa capitale.
Capitalizzazione : è la trasformazione dell’interesse in capitale.
Legge di capitalizzazione : è la funzione matematica idonea a calcolare il valore di un capitale nel momento della sua valuta.
Montante : è la somma del capitale impiegato e dell’interesse prodotto.
Periodo di capitalizzazione : è l’unità di tempo a cui è riferito il tasso.
Periodo di impiego : è il tempo complessivo per cui il capitale resta impiegato e può coincidere o no col periodo di capitalizzazione
Dato un capitale è sempre possibile individuarne in qualsiasi momento il valore utilizzando un determinato tasso di interesse o di sconto.
Legge di sconto : è la funzione matematica idonea a calcolare il valore del capitale in un tempo anteriore a quello della sua disponibilità.
E’ l’inverso della legge di capitalizzazione e quindi sarà tale da poter ridare, con lo stesso tasso, il valore del capitale originario.
Valore attuale : è il valore di un capitale futuro al tempo zero (tempo attuale).
Sconto : è la differenza tra capitale e valore attuale . E’ il compenso che spetta a chi anticipa un capitale
Distinzione tra regimi di capitalizzazione :
- semplice : si ha quando l’interesse prodotto dal capitale è disponibile per il prestatore solo alla fine del periodo convenuto e tale interesse non produce, a sua volta, nuovo interesse (salvo nuove contrattazioni) ;
- complesso : si ha quando l’interesse prodotto dal capitale è disponibile solo alla fine di ogni periodo convenuto e tale interesse produce, a sua volta, nuovo interesse.
REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE
Di norma viene utilizzato solo per periodi inferiori all’anno
La funzione dell’interesse semplice I di un capitale C al tasso i e per un tempo t è data da: I = C· i · t
Dovrà esservi una relazione tra tasso e tempo nel senso che entrambi dovranno essere espressi con lo stesso riferimento temporale (il tasso annuo corrisponderà a tempo espresso in anni e frazioni di anno; il tasso mensile, trimestrale o semestrale corrisponderà a tempo espresso in mesi, trimestri o semestri).
Montante in capitalizzazione semplice: è la somma del capitale più l’interesse
M = C + I ossia M = C + C· i · t o anche M = C ( 1 + i · t )
Valore attuale o sconto in capitalizzazione semplice : è la differenza tra capitale e interesse
Va = C - I ossia Va = C - C· i · t o anche Va = C ( 1 - i · t )
In pratica è la stessa formula del montante in cui a t (positivo) si sostituisce –t (negativo). E’ detta anche sconto commerciale per distinguerla, nella pratica finanziaria, dallo sconto razionale che più propriamente dovrebbe essere trovato con la formula inversa (ma non utilizzata in regime di capitalizzazione semplice) al montante :
Va = C 1 / (1 + i·t )
Nel linguaggio corrente si definisce “interesse” il maggior valore che si incasserà in futuro per l’impiego di un nostro capitale immediato mentre si definisce “sconto” il minor valore che si è disposti ad accettare oggi per poter disporre subito di una somma con valuta futura.
REGIME DI CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA
E’ una composizione successiva di capitalizzazioni semplici.
La funzione dell’interesse composto I di un capitale C al tasso i e per un tempo t multiplo del periodo di capitalizzazione sarà dato, dopo n periodi, da : I = (C· i ) (C· i ) (C· i ) …… = (C· i )n
Montante in capitalizzazione composta: è la somma del capitale più l’interesse
M = C + I ossia M = C + C· i = C ( 1 + i ) dopo un periodo,
M = C ( 1+ i ) ( 1+ i) dopo due periodi o anche M = C ( 1 + i )2
E, in generale, M = C · ( 1 + i ) n dopo n periodi
Dovrà esservi corrispondenza tra il tasso e il periodo di capitalizzazione ossia tra i ed n ( ad i riferito ad anno corrisponderà n espresso in anni e frazione di anno, ad i riferito a mese, trimestre o semestre corrisponderà n espresso in mesi, trimestri o semestri).
Il reciproco della formula del Montante fornisce il Valore Attuale in regime di capitalizzazione composta :
Va = C · 1 / M ossia Va = C · 1 / ( 1 + i ) n o anche
Va = C · ( 1 + i ) – n
Simboli : ( 1 + i ) – n fattore di attualizzazione
( 1 + i ) n fattore di capitalizzazione
Quando il tempo complessivo t è diverso da n ( t ≠ n ) le formule non variano perché sono scindibili:
( 1 + i ) – t e ( 1 + i ) t
quindi t può essere un tempo frazionario ( 2,5 anni o 3,25 anni) senza che nulla debba cambiare nei calcoli; tuttavia la prassi bancaria, quando il tempo t = n + τ con τ periodo tempo minore di un periodo di capitalizzazione ( cioè solitamente inferiore all’anno ), utilizza una convenzione (detta lineare) espressa dalla funzione :
( 1 + i ) n ( 1 + i τ ) ossia un insieme di capitalizzazione composta e semplice (quindi una capitalizzazione mista).
Due tassi si dicono equivalenti quando, per lo stesso capitale e per lo stesso periodo di tempo considerato danno lo stesso montante o lo stesso valore attuale.
Se i’ è il tasso relativo al periodo di capitalizzazione τ’ e i” il tasso del periodo di capitalizzazione τ “ per il capitale 1 e il periodo di tempo t deve risultare, perchè i’ e i” siano equivalenti :
( 1 + i’ ) t /τ’ = ( 1 + i” ) t / τ”
da cui si può ricavare:
i’ = ( 1 + i” ) τ’/ τ “ - 1
In pratica si avrà che un tasso trimestrale del 2% non corrisponderà ad un tasso annuale del 8% (cioè 2% moltiplicato per 4 trimestri) o viceversa come in modo semplicistico si può essere indotti a pensare. Infatti, secondo lo schema precedente si avrà che:
al tasso trimestrale del 2% corrisponde un tasso annuo di :
i = ( 1 + 0,02 ) 12/3 - 1 = 1,02 4 -1 = 0,0824 quindi 8,24%
mentre al tasso annuale del 8% corrisponde un tasso trimestrale di:
i = ( 1 + 0,08 ) 3/12 - 1 = 1,08 0,25 - 1 = 0,0194 quindi 1,94%
infatti se volessimo fare una controprova per trovare il tasso annuale corrispondente al tasso trimestrale del 1,94% si avrà :
i = ( 1+ 0,0194 ) 12/3 – 1 = 1,0194 4 - 1 = 0,0799 cioè ancora 8%
Il risultato si giustifica sapendo che in una capitalizzazione composta trimestrale gli interessi maturati trimestralmente producono a loro volta altri interessi nei periodi infrannuali.
2) RENDITE FINANZIARIE CERTE
Rendita : è una successione di capitali disponibili a tempi stabiliti.
Una rendita è detta certa quando il pagamento dei suoi termini non è subordinato al verificarsi di qualsiasi evento di incerto accadimento
Termini della rendita : sono i capitali periodicamente disponibili
Scadenze : sono i tempi di successione dei capitali
Rendita costante : si ha quando tutti i termini della rendita sono uguali
Rendita periodica : si ha quando le scadenze si succedono ad intervalli costanti
Periodo della rendita : è l’intervallo di tempo costante in cui si succedono i capitali (mese, trimestre, semestre, anno, ecc.) e da cui deriva la definizione di rendita mensile, trimestrale, semestrale, annuale, ecc.
Rendita anticipata : si ha quando il primo termine è disponibile al momento iniziale di ogni periodo
Rendita posticipata : si ha quando il primo termine è disponibile alla fine di ogni periodo.
Valore attuale di una rendita : è la somma dei valori attuali dei termini della rendita
Montante di una rendita : è la somma dei montanti dei suoi termini per il tempo che va dalla scadenza di ciascuno di essi fino alla scadenza dell’ultimo.
Rendita perpetua : è una rendita avente un numero infinito di termini. Il suo valore attuale si ottiene come limite per n tendente a infinito del valore attuale della rendita dello stesso tipo avente n termini. Non è invece possibile trovare il montante avendo questo un valore infinito per definizione.
Scadenza media di una rendita : è quel tempo in cui il valore della rendita è uguale alla somma dei termini della rendita o, meglio, è il tempo t in cui i montanti fino a quel tempo sommati ai valori attuali dei restanti periodi danno un valore uguale alla somma dei termini della rendita.
La scadenza media è indipendente dal tasso ed è la media aritmetica ponderata delle scadenze date con pesi uguali ai rispettivi termini della rendita.
Anche nelle rendite è possibile utilizzare il sistema della capitalizzazione semplice o composta ma, considerando che le durate sono solitamente poliennali, il regime usato correntemente è quello della capitalizzazione composta. Sarà questo che useremo.
Rendite periodiche con capitalizzazione composta
In capitalizzazione composta il regime è scindibile e reversibile tale per cui è consentito dedurre il montante se è noto il valore attuale e viceversa.
Il montante si ottiene quindi capitalizzando il valore attuale per il tempo che intercorre fra il momento attuale e la scadenza dell’ultimo termine della rendita mentre il valore attuale si ottiene scontando il montante per il tempo che intercorre fra la scadenza dell’ultimo termine e il momento attuale.
I casi che prenderemo in considerazione sono quelli delle rendite con importo costante perché sono le più frequenti e quelle che consentono l’uso di formule semplificate.
Alla simbologia già vista per capitale C, tasso i, tempo t o n aggiungiamo ora :
a n┐ i = valore attuale di una rendita costante
s n┐ i = montante di una rendita costante
Le lettere a e s saranno scritte in stampatello o in corsivo (a, a, s s ) a seconda che si tratti di rendite anticipate o posticipate.
Valore attuale di una rendita costante
Trovare il valore attuale vuol dire ricavare la somma di tutti i termini della rendita portati al valore del tempo zero (o attuale) in relazione al tasso applicato.
Se v è il valore attuale in generale in cui v = 1 / (1 + i ), quello specifico di ogni termine sarà v1, v2 , v3, ……..vn con i rispettivi valori : 1/ (1 + i)n
Quindi il valore attuale di una rendita costante di n termini di valore C= 1 e :
a n┐ i = 1 v + 1 v2 + 1 v3+ ……+ 1 vn
Si tratta di una progressione geometrica di ragione v il cui valore è dato da un rapporto che prevede:
a) al numeratore : il 1° termine (v ) meno l’ultimo termine ( vn ) per la ragione ( v ) = v - vn ۰ v = v – vn+1
b) al denominatore : uno meno la ragione ( v ) = 1 - v
quindi : a n┐ i = ( v – vn+1_) / ( 1 – v )_____________
moltiplicando numeratore e denominatore per ( 1 + i ) sintetizzabile con r
si ricava : ( 1 – vn ) / ( r – 1 ) o anche [ 1 - 1 / (1 + i )n ] / [( 1 + i ) - 1]=
= [ 1 - 1 / (1 + i )n ] / i = (1 + i )n - 1 / i (1 + i )n che indica la formula
risolutiva del valore attuale di una rendita costante “posticipata” con tasso i che sarà mensile, trimestrale, semestrale o annuale della rendita mensile, trimestrale, semestrale o annuale (cioè il tasso da usare sarà quello corrispondente alla periodicità della rendita).
Es. Trovare il valore attuale di una rendita annuale posticipata di 2.000 € pagabili per 25 anni con tasso del 4,8%
Va = a 25┐ 0,048 = 2.000 • ( 1,048 25 - 1 ) / (0,048 • 1,048 25 )
= 2.000 ( 3,229 - 1 ) / 0,155 = 28.761
Se la rendita fosse “ anticipata “ (quindi pagata all’inizio di ogni periodo )
si avrebbero due effetti :
1) la prima rata non dovrebbe essere scontata perché corrisposta al tempo zero
2) il valore attuale delle altre rate si calcola come visto in precedenza con la sola differenza di calcolare un periodo in meno (anziché n si avrà (n – 1) )
Complessivamente :
a n ┐i (si usa il simbolo in corsivo per segnalare che le rate sono
anticipate) =
1 + a n-1 ┐i
(con 1 che indica l’entità della prima rata che non sarà scontata perché pagata subito )
(1+ i) n - 1 - 1
α n ┐i = 1 + -------------------- = α n ┐i = 1 + a n-1 ┐i
i (1+ i) n - 1
Perciò, per trovare il valore attuale di una rendita anticipata si opererà cercando il valore attuale di una rendita posticipata di durata n-1 periodi aggiungendo il valore base di una rata.
Nell’esercizio precedente, fermi tutti i valori, ma con rendita anticipata si avrebbe:
Va = a 25┐ 0,048 = 2.000 + 2.000 ( 1,048 24 - 1 ) / (0,048 • 1,048 24 )
= 2.000 + 2.000 (3,0808 –1) / 0,048 • 3,0808 = 2000 + 2,000 ( 2,0808 / 0,1478 ) = 30.156
Chiaramente, avendo cominciato prima ad effettuare i versamenti, si viene ad avere un maggior valore attuale.
La differenza sarà data dal raffronto tra il valore attuale dell’ultima rata (scontata quindi di 24 anni ) e € 2.000 che restituisco subito.
Infatti il valore attuale di € 2.000 da versare dopo 24 anni sarà:
2000 (1 + 0,048) –24 = 616 e
2.000 – 616 = 1.384
che corrisponde, salvo gli arrotondamenti, alla differenza tra 30.156 e 28.761 dell’esercizio precedente
Montante di una rendita costante
Trovare il montante vuol dire calcolare il valore di fine periodo di tutte le quote della rendita in relazione al tasso applicato.
Anche in questo caso si può fare una distinzione tra rendite versate posticipatamente o anticipatamente.
s n ┐i (montante di una rendita posticipata) sarà dato dalla somma dei montanti delle rendite versate o ricevute in ogni periodo sapendo che l’ultimo versamento non sarà capitalizzato perché versato contestualmente al momento del calcolo:
s n ┐i = (1+i) ⁿ-1 + (1+i) ⁿ-² + (1+i) ⁿ-³………(1+i) + 1 (si può anche invertire la successione dei termini)
Anche in questo caso si tratta di una progressione geometrica con la ragione = (1 + i) indicata con “r” il cui valore è dato dal rapporto :
a) al numeratore : [ 1° termine (r) ] meno [ l’ultimo per la ragione ( rn-1 • r = r n) ]
b) al denominatore : [ 1 ] meno [ la ragione (cioè r) ]
1 - (1+ i) ⁿ (1+ i) ⁿ - 1
e cioè : ---------------- che , moltiplicato per -1 , dà : --------------------- che corrisponde
1 - (1+ i) i
alla formula del montante di una rendita posticipata costante
in cui il tasso i sarà il tasso mensile, semestrale o annuale della rendita mensile, semestrale o annuale
Es. Trovare il valore attuale di una rendita annuale posticipata di 2.000 € pagabili per 25 anni con tasso del 4,8%
M = s 25┐ 0,048 = 2000 • ( 1,048 25 - 1 ) / 0,048 = 2000 • 2,229 / 0,048 = 92.875
Lo stesso valore si troverebbe se applicassimo la formula della capitalizzazione composta al valore attuale trovato nel precedente esercizio di rendita posticipata. Infatti dato il valore di € 28.761 e volendo trovare il capitale che si avrebbe dopo 25 anni di deposito ininterrotto al tasso del 4,8% si avrebbe ancora :
M = 28.761 (1 + 0,048 ) 25 = 28.761 • 1,048 25 = 92.865
Proprio a dimostrazione della reversibilità delle formule di valore attuale e montante in regime di capitalizzazione composta.
Se si dovesse trovare il montante di una rendita versata anticipatamente si avrebbe questo effetto :
1) anche l’ultima rata deve essere capitalizzata per la durata dell’ultimo periodo e quindi si avrà il calcolo di un periodo in più
2) per renderla compatibile con il procedimento di calcolo utilizzato il montante delle rate si calcola come visto in precedenza, con la sola differenza che si dovrà sottrarre l’importo di una rata non capitalizzata (perché il numero delle quote versate non cambia)
s n ┐i (si usa il simbolo corsivo per segnalare che le rate sono anticipate) = s n+1 ┐i - 1 (con 1 che indica l’entità base della rata )
(1+ i) n + 1 - 1
s n ┐i = -------------------- - 1 =
i
Perciò, per trovare il montante di una rendita anticipata si opererà cercando il montante di una rendita posticipata di durata n +1 periodi togliendo il valore base di una rata.
Es :
Calcolare il Valore Attuale e il Montante al 6% di una rendita anticipata di € 3.000 annue per 15 anni
Va = a 15┐ 0,06 = 3.000 ( 1 + a14┐ 0,06 ) = 3.000 [ 1 + (1,06 14 – 1 / 0,06 . 1,06 14 )] =
= 3.000 + 3.000 ٠( 2,260903956 - 1) / 0,06 ٠ 2,260903956 = 30.885
M = s 15┐ 0,06 = 3.000 ( s16┐ 0,06 - 1 ) = 3.000 [ (1,06 16 - 1 / 0,06 ) -3000 ] =
= 3000 • ( 2,540351 - 1 ) / 0, 06 ) - 3000 = 77.017 – 3000 = 74.017
Per quanto detto sopra circa la reversibilità tra valore attuale e montante si dovrebbe anche avere che:
dato il valore attuale di 30.885, il montante dovrebbe scaturire dalla capitalizzazione di tale importo per 15 anni:
= 30.885 ( 1 + 0,06 ) 15 = 74.017 c.v.d.
Date le formule di valore attuale e montante sia con rate anticipate che posticipate si potranno ricavare anche tasso e tempo nel caso siano delle incognite.
Allo stesso modo si potrà trovare il valore della rata costante da versare alle diverse scadenze.
Quest’ultimo caso sarà visto in occasione degli ammortamenti dei prestiti.
Rendite perpetue
Un caso particolare può essere costituito da una rendita perpetua.
Si è già detto che, in questo caso, il montante non si può calcolare visto che non si conosce a quale tempo finale fare riferimento.
Il valore attuale invece viene definito uguale a R/ i ossia al rapporto tra valore della rendita periodica costante e il tasso di interesse. Ciò perché il calcolo dell’espressione V = C lim ∞ ∑ (1 - si ) ha significato solo fino al tempo s in quanto, dopo, il valore attuale diventa negativo cioè il creditore diventa debitore.
Il caso della rendita perpetua può trovare applicazione quando si utilizzerà uno dei diversi metodi da esaminare per le valutazioni dei prezzi congrui di cessione/acquisto di aziende.
Va = R / i
Un esempio può essere dato dal reddito, considerato stabile, percepito dagli azionisti di una azienda e valutato in € 200.000 annui per una durata indeterminata (quindi ipotizzata perpetua) in una condizione di mercato in cui il tasso corrente sia il 5%.
Se così fosse e se una valutazione di azienda dovesse essere effettuata con questo metodo allora si otterrebbe:
Va = 200.000 / 0,05 = € 4.000.000
Ossia una azienda che dia 200.000 € all’anno di reddito e per un numero indefinito di anni (ma comunque molto alto) può valere oggi 4.000.000 €.
In pratica si avrebbe la somma di tanti redditi uguali tutti portati a valore di oggi e quindi tutti di valore man mano decrescente in rapporto al tempo di riscossione. Se volessimo conoscere il valore attuale del reddito di 200.000 da riscuotere tra 50 anni avremo: 200.000 (1 +0,05) –50 = € 17.441 e dopo 70 anni si ridurrebbe a 200.000 (1.05) –70 = 6.573
3) AMMORTAMENTI DEI PRESTITI
Prestito monetario : è la somma di denaro ottenuta da un debitore a fronte di una necessità con l’impegno della restituzione al creditore,
Il debitore può estinguere l’obbligazione mediante un unico e completo versamento o mediante una successione di versamenti a rate ossia mediante il pagamento di una rendita (vedi specifico argomento).
L’ammortamento del prestito corrisponde alla restituzione completa (e rateizzata) dell’importo.
I casi da esaminare in matematica finanziaria riguardano la restituzione della somma con gli interessi secondo un certo tasso.
Quote di ammortamento : sono i singoli versamenti composti solitamente da una quota di interessi e da una quota di capitale.
In base al principio di equivalenza, affinché una successione di quote di versamento sia in grado di estinguere un prestito, dovrà avere un valore che, allo stesso tempo, ha il prestito.
Debito residuo: è quella somma che si dovrebbe pagare al tempo tk se si volesse estinguere il prestito allo stesso tempo
Tasso nominale : è la percentuale di interesse fissata tra le parti contraenti
Tasso effettivo : è il costo economico unitario che il contraente deve sopportare per disporre del prestito e comprende, oltre al tasso nominale, anche le spese, provvigioni, diritti di segreteria, registrazioni onerose, ecc. a carico del contraente durante tutta la vita del prestito.
Simbologia :
α = quota di ammortamento da pagare ad ogni scadenza
I = quota interessi
C = quota capitale
E = debito estinto fino alla k-esima scadenza
R = debito residuo
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