IPERSTATICA : TRAVATURE

  TRAVATURE IPERSTATICHE

Le travi continue rientrano nella categoria delle travi inflesse e sono caratterizzate dall'essere sostenute da più di due appoggi e dall'essere prive di sconnessioni interne. Si noti che gli appoggi sono tutti costituiti da carrelli, idonei quindi a consentire il libero esplicarsi delle dilatazioni assiali, tranne uno, in genere intermedio, che è fisso, per impedire gli spostamenti rigidi paralleli all'asse. Un esempio di trave continua è riportato nella figura 8.8.

Fig. 8.8. Trave continua

La trave continua presenta tante indeterminazione quanti sono gli appoggi intermedi. Il grado di iperstaticità è quindi dato dal n - 2 , con n numero degli appoggi. Ad essa si può associare un qualunque sistema principale ottenuto ad es. sopprimendo gli appoggi intermedi e sostituendo ad essi le reazioni vincolari, come indicato nella figura 8.9 nel caso in cui sia n = 7.

Fig. 8.9. Trave principale ottenuta sopprimendo gli appoggi sovrabbondanti

Questa scelta tuttavia può essere adottata quando il grado di iperstaticità sia basso, mentre risulta generalmente più conveniente introdurre delle sconnessioni interne del tipo M = 0, ossia delle cerniere.

Ad es., nel caso di trave continua su 4 appoggi (v. fig. 8.10) si possono adottare le strutture principali indicate nella figura 8.11. Questi schemi sono legati al nome dell'ing. Bavarese G. H. Gerber che perciò da lui prendono il nome.

Fig. 8.10. Trave continua su 4 appoggi

Fig. 8.11. Esempi di travi continue isostatiche: travi Gerber

8.6.2. L'equazione dei tre momenti

La scelta di struttura principale più conveniente risulta in genere quella ottenuta introducendo delle cerniere in corrispondenza degli appoggi. A questa scelta restano associati, come incognite iperstatiche, i momenti flettenti sugli appoggi, come indicato nella figura 8.12. Questa scelta risponde alla regola generale che consiglia di adottare delle strutture principali alle quali corrispondano delle configurazioni deformate le più vicine possibili a quella della struttura iperstatica alla quale sono associate.

Fig. 8.12. Esempio di struttura principale di trave continua su 4 appoggi.

Si può osservare che in un sistema principale così scelto non si ha trasmissione di azioni da una campata all'altra per cui, nel caso di una trave continua su n appoggi, (v. fig. 8.8), per scrivere la generica equazione di Mueller-Breslau, possiamo esaminare un campo costituito da due campate adiacenti, come indicato nella figura 8.13.

Fig. 8.13. Struttura principale

Questa, riferita all'appoggio m-esimo, dove si è operata la sconnessione Mm = 0, esprimerà la condizione di continuità della trave ossia la condizione che la linea elastica abbia una tangente unica e quindi una rotazione relativa nulla fra le due sezioni facenti capo alla sconnessione, cioè:

(8.14)

dove rappresenta la rotazione della sezione Cm considerata appartenente alla campata di sinistra e la rotazione della medesima sezione pensata appartenente alla campata di destra. Naturalmente si tratta di rotazioni indotte dai carichi, dai cedimenti vincolari, dalle variazioni termiche e dalle incognite iperstatiche sulla struttura principale.
Trattandosi di travi inflesse, ed possono più agevolmente calcolarsi mediante il teorema di Mohr illustrato al paragrafo 7.2.5.
Supponendo che la trave continua abbia rigidezza costante per ogni campata, è facile vedere che ed possono calcolarsi come qui di seguito indicato.
Rotazioni indotte dai carichi:

(8.15)

Le reazioni e rappresentano le reazioni vincolari della trave ausiliaria sottoposta al carico fittizio p* costituito dal diagramma dei momenti flettenti. Le rotazioni ed sono perciò ottenute dividendo e rispettivamente per ed .

Le reazioni e , note come termini di carico, si possono calcolare, una volte per tutte, per le condizioni di carico più frequenti. Nella tabella seguente sono riportati i valori di e per alcune condizioni di carico.

Rotazioni indotte dalle incognite iperstatiche:

(8.16)

(8.17)

Rotazioni indotte dai cedimenti vincolari:


Se indichiamo con , ed i cedimenti, supposti anelastici, degli appoggi , e rispettivamente, posto





risulta:

(8.18)

Tenendo conto di tutti i contributi, l'equazione di congruenza (8.14) dà luogo alla seguente espressione:

(8.19)

La (8.15) assume una forma particolarmente semplice nel caso in cui la trave sia a rigidezza costante ovvero quando si possa porre:

In tal caso infatti la (8.19) si semplifica nella seguente:

(8.20)

La generica equazione (8.18), così come la (8.19), contiene i momenti incogniti su tre appoggi consecutivi. Essa è perciò nota come equazione dei 3 momenti. Nella forma (8.20) essa è nota anche come equazione di Bertot - Clapeyron. Di queste equazioni ne possiamo scrivere tante quanti sono gli appoggi intermedi ossia in numero pari al grado di iperstaticità. La prima e l'ultima equazione contengono soltanto due momenti incogniti in quanto risulta

Esse assumono perciò la forma :

prima equazione:

(8.21)

ultima equazione:

(8.22)

Se però gli estremi A e B sono incastrati, i momenti ed sono staticamente indeterminati. In tal caso occorrono due ulteriori equazioni che si possono facilmente scrivere osservando che, se gli incastri A e B siano sede di cedimenti angolari a e b rispettivamente, per le due campate di riva , si può scrivere

(8.23)

Si ottengono così le due equazioni aggiuntive cercate:

(8.24)

È interessante notare che le equazioni (8.24) si possono anche ottenere pensando che al posto di ciascuno degli incastri A e B vi sia una coppia di appoggi molto vicini fra di loro, comprendenti cioè una campata di luce infinitesima. È così possibile scrivere un'equazione analoga alla (8.20) e precisamente:

ponendo nella (8.20) si perviene a:

mentre, ponendo , si perviene a: entrambe le equazioni ottenute coincidono con le (8.24).

Siamo così in grado, in ogni caso, di scrivere un numero di equazioni di congruenza pari al numero delle incognite. Risolvendo questo sistema di equazioni algebriche si perviene ai valori dei momenti flettenti sugli appoggi. Siamo quindi in grado di calcolare le reazioni vincolari e di tracciare i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione M e T.

8.6.3. Le reazioni vincolari

Lo studio della trave continua si completa con il calcolo delle reazioni vincolari, ottenuto facilmente una volta noti i momenti flettenti sugli appoggi. Infatti, con riferimento alla figura 8.14, dove il carico applicato sulla campata m-esima è, per semplicità, limitato ad una sola forza concentrata , il momento flettente al termine della campata, vale:

Fig. 8.14. Calcolo delle reazioni vincolari

(8.25)

da cui si deduce il taglio a sinistra della medesima campata

(8.26)

È evidente che se è il primo appoggio della trave continua allora la reazione vincolare coincide proprio con . Altrimenti è facile constatare che in una generica sezione S di ascissa z, il taglio ed il momento flettente valgono:

• Se la sezione S è a destra del carico

(8.27)

• Se la sezione S è a sinistra del carico


La reazione vincolare si ottiene facilmente osservando che dalla prima delle  si deduce che il taglio a destra della campata è dato da:

(8.28)

Mentre dalla figura 8.14 si deduce: