isostatica :esercizio svolto soluzione

SOLUZIONE

Prima di tutto bisogna vedere se la struttura data nell'esercizio è realmente isostatica.

Indichiamo con I, II e III i corpi che formano la struttura e per ognuno fissiamo (a piacere) un polo rispetto al quale, in seguito, calcoleremo la risultante dei momenti. Come indicato in figura (vedi appresso), indichiamo con I il corpo ABC, con II il corpo BD, con III il corpo GDE e prendiamo come poli A per il corpo I, C per il corpo II e D per il corpo III.

Fissiamo arbitrariamente (ma per convenzione si usano i versi mostrati qui di seguito) i versi positivi degli spostamenti e delle rotazioni infinitesimi eventualmente associati ai corpi.

Con riferimento al testo dell'esercizio, le condizioni di vincolo ci dicono che:

• Lo spostamento infinitesimo del punto A pensato appartenente al corpo I nel verso x deve essere nullo.
• Lo spostamento infinitesimo del punto A pensato appartenente al corpo I nel verso y deve essere nullo.
• Lo spostamento infinitesimo del punto B pensato appartenente al corpo I nel verso x deve essere uguale allo spostamento infinitesimo del punto B pensato appartenente al corpo II nel verso x.
• Lo spostamento infinitesimo del punto B pensato appartenente al corpo I nel verso y deve essere uguale allo spostamento infinitesimo del punto B pensato appartenente al corpo II nel verso y.
• Lo spostamento infinitesimo del punto D pensato appartenente al corpo II nel verso x deve essere uguale allo spostamento infinitesimo del punto D pensato appartenente al corpo III nel verso x.
• Lo spostamento infinitesimo del punto D pensato appartenente al corpo II nel verso y deve essere uguale allo spostamento infinitesimo del punto D pensato appartenente al corpo III nel verso y.
• Lo spostamento infinitesimo del punto E pensato appartenente al corpo III nel verso x deve essere nullo.
• La rotazione antioraria infinitesima attorno al punto E pensato appartenente al corpo III deve essere nulla.
• Lo spostamento infinitesimo del punto G pensato appartenente al corpo III nel verso y deve essere nullo.

In forma matriciale possiamo scrivere che la matrice cinematica moltiplicata per il vettore degli spostamenti generalizzati (spostamenti e rotazioni) deve essere uguale agli spostamenti ed alle rotazioni subite dalla struttura (nel nostro caso è un vettore nullo).

Condizione necessaria e sufficiente affinché i vincoli siano ben posti e la struttura sia isostatica è che il determinante della matrice cinematica sia diverso da zero (cliccare qui per vedere come si calcola il determinante in questo caso), in modo che per ottenere il vettore nullo della soluzione esiste solo la soluzione banale: il vettore degli spostamenti è nullo.

Adesso leviamo i vincoli e li sostituiamo con delle forze e dei momenti incogniti.

Per convenzione, assumiamo positivi i versi come i figura.

Scriviamo le equazioni di equilibrio per ogni corpo. Per ogni corpo si hanno tre equazioni di equilibrio (equilibrio delle forze orizzontali H, delle forze verticali V e dei momenti M)

In forma matriciale possiamo scrivere che la matrice statica moltiplicata per il vettore delle forze generalizzate (forze e momenti) è uguale al vettore delle forze generalizzate esterne applicate. Si noti che se si scrive il tutto in sequenza tenendo conto degli stessi versi positivi sia per gli spostamenti generalizzati che per le forze generalizzate, si ha che la matrice cinematica e la matrice statica sono una la trasposta dell'altra.

Una volta calcolati i valori delle incognite, li sostituiamo nel sistema.

Prendiamo positivi i versi come indicato in figura.

Scegliamo arbitrariamente come spostarci lungo le travi, ossia il riferimento da usare nella scrittura delle equazioni.

A questo punto non rimane che scrivere le equazioni e disegnare i diagrammi.