Thursday, May 08, 2025

martedì 14 settembre 2010

matrici:Calcolo del determinante della matrice cinematica



Calcolo del determinante
della matrice cinematica



Appuriamo ora se il determinante della matrice cinematica è uguale o diverso da zero:

la matrice 9x9 non deve certo spaventare: seguendo poche regole, facili da ricordare, si può arrivare rapidamente a calcolare il determinante della matrice e poi, se si vuole ulteriormente semplificare, si può anche solo calcolare se il determinante è uguale o diverso da zero, tanto è solo questo ciò che bisogna ricercare.

  • A partire dal primo numero in alto a sinistra numeriamo le righe della matrice da 1 a 9 procedendo verso il basso; allo stesso modo numeriamo le colonne della matrice da 1 a 9 procedendo verso destra.
  • Quando c'è una riga (od una colonna) in cui solo ed esclusivamente un elemento è diverso da zero, il determinante di quella matrice è uguale a quel numero (preso con lo stesso segno se la somma del numero della riga e della colonna a cui appartiene è un numero pari oppure cambiato di segno se la somma del numero della riga e della colonna a cui appartiene è un numero dispari) moltiplicato per il determinante della stessa matrice di partenza, ma avendole tolto la riga e la colonna a cui apparteneva quell'unico numero diverso da zero.
  • Ci si può ricondurre alla situazione 2) anche quando apparentemente sembra che non si verifichi la situazione, tenendo conto che ogni riga (o colonna) della matrice può essere cambiata sommando o sottraendo ad essa una qualsiasi combinazione lineare delle altre righe (o colonne), senza che cambi il determinante.
  • Ovviamente, la condizione 2) può verificarsi 0, 1 o più volte; più volte si verifica e più facile sarà calcolare il determinante. Non ha alcuna importanza da dove si parte tra tutti i casi 2) che si verificano nella matrice: il risultato finale è sempre lo stesso. Tuttavia, generalmente, si preferisce partire da quei casi in cui:

    • l'elemento in considerazione è il più vicino possibile all'angolo superiore sinistro della matrice (per evitare di far errori nel capire a quale riga e quale colonna appartiene).
    • l'elemento appartiene ad una riga ed una colonna tali che la somma della riga e della colonna sia un numero pari (per evitare di dimenticarsi di cambiare segno).
    • il numero è uguale ad 1 (così basta calcolare, facendo comunque attenzione al segno, il determinante della matrice avendo tolto riga e colonna a cui apparteneva quel numero).
  • Va notato che se si vuole solo vedere se il determinante è uguale o diverso da zero, si può semplificare il tutto non tenendo conto né del segno (zero moltiplicato per -1 fa sempre zero), né del valore del numero (zero moltiplicato per qualunque numero reale fa sempre zero).


Applichiamo quanto detto. Io ora vi faccio vedere con tutti i passaggi come si calcola il determinante, ma vi ricordo che per il nostro scopo basta sapere se è diverso od uguale a zero.

Prendo in considerazione l'elemento alla riga 1 ed alla colonna 1 della matrice cinematica. Vale 1 e tutti gli altri numeri sulla stessa riga valgono zero; siamo quindi nella condizione 2). Il numero della riga più quello della colonna vale 2 ed è quindi un numero pari, allora il determinante della matrice cinematica è dato dal numero 1, preso con lo stesso segno, moltiplicato per il determinante della matrice cinematica a cui è stata tolta la riga 1 e la colonna 1:



Prendo in considerazione l'elemento alla riga 1 ed alla colonna 1 della nuova matrice (8x8). Vale 1 e tutti gli altri numeri sulla stessa riga valgono zero; siamo quindi nella condizione 2). Il numero della riga più quello della colonna vale 2 ed è quindi un numero pari, allora il determinante della matrice cinematica è dato dal numero (1) che moltiplicava la matrice (8x8) precedente, moltiplicato per il numero 1, preso con lo stesso segno, moltiplicato per il determinante della nuova matrice (7x7) originata dalla matrice (8x8) togliendo la riga 1 e la colonna 1:



Prendo in considerazione l'elemento alla riga 2 ed alla colonna 1 della nuova matrice (7x7). Vale L e tutti gli altri numeri sulla stessa colonna valgono zero; siamo quindi nella condizione 2). Il numero della riga più quello della colonna vale 3 ed è quindi un numero dispari, allora il determinante della matrice cinematica è dato dal numero (1) che moltiplicava la matrice (7x7) precedente, moltiplicato per il numero L, preso con segno opposto, moltiplicato per il determinante della nuova matrice (6x6) originata dalla matrice (7x7) togliendo la riga 2 e la colonna 1:



Prendo in considerazione l'elemento alla riga 1 ed alla colonna 1 della nuova matrice (6x6). Vale -1 e tutti gli altri numeri sulla stessa riga valgono zero; siamo quindi nella condizione 2). Il numero della riga più quello della colonna vale 2 ed è quindi un numero pari, allora il determinante della matrice cinematica è dato dal numero (-L) che moltiplicava la matrice (6x6) precedente, moltiplicato per il numero -1, preso con lo stesso segno, moltiplicato per il determinante della nuova matrice (5x5) originata dalla matrice (6x6) togliendo la riga 1 e la colonna 1:



Prendo in considerazione l'elemento alla riga 2 ed alla colonna 1 della nuova matrice (5x5). Vale 1 e tutti gli altri numeri sulla stessa colonna valgono zero; siamo quindi nella condizione 2). Il numero della riga più quello della colonna vale 3 ed è quindi un numero dispari, allora il determinante della matrice cinematica è dato dal numero (L) che moltiplicava la matrice (5x5) precedente, moltiplicato per il numero 1, preso con segno opposto, moltiplicato per il determinante della nuova matrice (4x4) originata dalla matrice (5x5) togliendo la riga 2 e la colonna 1:



Prendo in considerazione l'elemento alla riga 2 ed alla colonna 2 della nuova matrice (4x4). Vale 1 e tutti gli altri numeri sulla stessa riga valgono zero; siamo quindi nella condizione 2). Il numero della riga più quello della colonna vale 4 ed è quindi un numero pari, allora il determinante della matrice cinematica è dato dal numero (-L) che moltiplicava la matrice (4x4) precedente, moltiplicato per il numero 1, preso con lo stesso segno, moltiplicato per il determinante della nuova matrice (3x3) originata dalla matrice (4x4) togliendo la riga 2 e la colonna 2:



Prendo in considerazione l'elemento alla riga 1 ed alla colonna 1 della nuova matrice (3x3). Vale L/2 e tutti gli altri numeri sulla stessa riga (o colonna) valgono zero; siamo quindi nella condizione 2). Il numero della riga più quello della colonna vale 2 ed è quindi un numero pari, allora il determinante della matrice cinematica è dato dal numero (-L) che moltiplicava la matrice (3x3) precedente, moltiplicato per il numero L/2, preso con lo stesso segno, moltiplicato per il determinante della nuova matrice (2x2) originata dalla matrice (3x3) togliendo la riga 1 e la colonna 1:



A questo punto il calcolo del determinante è semplicissimo: è dato dal numero che moltiplicava la matrice precedente (-L quadro diviso 2), moltiplicato per il determinante della nuova matrice (2x2) che si calcola moltiplicando il numero a sinistra in alto per quello a destra in basso e sottraendo il numero a destra in alto moltiplicato per quello a sinistra in basso:









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