L’omologia II -L’omologia III

L’omologia II

La relazione geometrica tra le due immagini del punto A e A’, a seguito di due proiezioni distinte, da due centri di proiezione diversi C ed C’ esterni al piano si dice omologia.
Prima prospettività: ω1 = C, u, A A°
Seconda prospettività: ω2 = C’, u, A’ A°
Omologia = Prodotto di prospettività = ω1 X ω2 = ω = U, u, AA’
I piani sovrapposti π e π' costituiscono in realtà un artifìcio per chiarire il concetto di prodotto di due prospettività; tuttavia i concetti rimangono inalterati se, anziché due piani sovrapposti, se ne prende in considerazione uno solo. In questo caso si possono considerare A e A' come punti corrispondenti sullo stesso piano, ottenuti come proiezione dai centri C e C'. Si ottiene cioè una corrispondenza biunivoca tra punti dello stesso piano, attraverso la proiezione di essi su di un altro piano da due distinti centri di proiezione.

• L’intersezione della retta che unisce i due centri di proiezione, con il piano π individua il punto U detto centro dell’omologia.
• La retta che unisce A e A’ passa per U. Punti corrispondenti sono infatti allineati con il centro dell’omologia. La retta u, intersezione dei due piani rappresenta l’asse dell’omologia.

Proprietà dell'omologia

• Rette corrispondenti si incontrano sull'asse dell'omologia u (retta di intersezione tra i piani π e π₀ - retta unita - luogo dei punti uniti);
• punti corrispondenti sono allineati con il centro dell'omologia U (punto di intersezione della retta congiungente i due centri di proiezione con il piano π).

Una prospettività che abbia le proprietà sopra illustrate prende il nome di omologia e poiché dette proprietà si riscontrano solo nelle figure piane viene detta anche omologia piana.

Una omologia risulta individuata quando, in un piano, sono assegnati il centro U dell'omologia, il suo asse e una coppia di punti corrispondenti (oppure una coppia di rette corrispondenti).

 

L’omologia III

Uno dei casi che si incontra con frequenza è dato da due piani sovrapposti (π =π’), il piano π₀ e due centri di proiezione C∞ e C’∞ (impropri, disposti all'infinito, in posizione ortogonale rispettivamente al piano π = π’ e al piano bisettore del diedro formato dai piani π e π₀). Proiettando un punto A⁰ del piano π₀ dal centro improprio C∞ sul piano π; si ottiene il punto A; proiettando poi lo stesso punto A⁰ dal centro C’∞ si ottiene il punto A'; sì dice allora che i punti A e A' sono legati da una corrispondenza biunivoca di centro C∞ e C’∞.
L'asse dell'omologia è rappresentato dalla retta U, (intersezione fra i piani π e π₀) e il centro dell'omologia è rappresentato dall'intersezione della retta congiungente i due centri di proiezione con il piano π. Poiché i due centri di proiezione sono entrambi impropri, l’unione di essi definisce sul piano un punto improprio che si rappresenta nel punto U∞ la cui direzione è definita dall'intersezione del piano formato dai due centri C∞ e C’∞ con il piano π. Anche in questo caso la coppia di punti corrispondenti A e A' è allineata il centro dell'omologia U∞. Questa prospettività, caratterizzala dal centro improprio, prende il nome di affinità omologica.