COMPENSAZIONE   DI   RETI

Un insieme di punti, di coordinate NOTE o PRESUNTE, un insieme di misure (angoli fra direzioni, distanze, azimut assoluti, dislivelli), uno schema geometrico coerente sostituiscono una RETE.
Gli schemi geometrici possono essere rappresentati  tutti gli schemi di rilevamento che la topografia mette a disposizione (poligonali, intersezioni, trilaterazioni, ecc.).

Il metodo comunemente seguito nella compensazione di RETI è quello chiamato dalle osservazioni INDIRETTE o per variazioni di coordinate. Ciò significa che le incognite da ricercare non sono tanto le coordinate x, y o la quota z di un generico punto da definire, ma le correzioni da apportare ai valori presunti x, y, z delle coordinate dei punti stessi.
Ciò avviene mediante l'applicazione ripetuta (iterazione) di un opportuno algoritmo di calcolo finché le correzioni  hanno valori di entità trascurabile. Si dice allora che il sistema CONVERGE.

Il procedimento di compensazione esaminato è quello che fa ricorso al metodo statistico dei "MINIMI QUADRATI", attuato secondo l'algoritmo delle osservazioni INDIRETTE.

 Diamo di seguito una definizione, che non dimostriamo, ma che costituisce fondamento di tutti i procedimenti di compensazione:

LEGGE DEI MINIMI QUADRATI "In un sistema di osservazioni dello steso ordine di precisione , il valore più probabile Xo è quello che rende minima la somma dei quadrati degli scarti delle singole osservazioni Xi da Xo "                                                                    = Minimo

Le diverse fasi di applicazione dell'algoritmo di compensazione si possono sintetizzare nei punti che seguono:

1. In un sistema di riferimento assegnato calcolare dei valori provvisori per le coordinate x, y, z dei punti da determinare. Si può proceder con i comuni metodi (anche empirici) della topografia.
2. Ogni misura effettuata sul terreno e che coinvolga punti FISSI e/o PUNTI PROVVISORI permette di scrivere un'equazione che prenderà il nome di:

·        Equazione alle basi

·        Equazione agli angoli

·        Equazione agli azimut

·        Equazione ai dislivelli

·        ecc.

3. a seconda delle grandezze misurate alla quale si riferisce. 

3. Ogni misura effettuata ha una sua precisione intrinseca espressa mediante il suo s.q.m. Questa precisione costituisce il PESO che l'equazione ad esso legata avrà nel sistema complessivo che si va a costruire.
4. Ogni equazione esprime le relazioni tra l'elemento MISURATO ed il suo valore CALCOLATO dai valori provvisori di coordinate del punto: i due termini differiranno tra loro di una quantità, via via decrescente che chiameremo: TERMINI NOTI DELLE EQUAZIONI GENERATE.

Con gli elementi esposti ai punti 1, 2, 3, 4 è possibile ora scrivere un sistema di equazione così strutturato:

a1X1 + b1X2 + c1X3 + .......... + U1Xn =L1 a2X1 + b2X2 + c2X3 + .......... + U2Xn =L2 ................... ................... anX1 + bnX2 + cnX3 + .......... + UnXn =Ln

dove a₁ , b₁, c₁, ..................,  U₁ sono dei coefficienti noti. Si ha quindi un sistema di N equazioni in R incognite, con N > R.

Esplicitiamo di seguito l'equazione alle BASI e l'equazione agli ANGOLI:

EQUAZIONE ALLE BASI

Si abbia la base ij di misure Dij. La sua equazione è : 

 

L'equazione non è lineare: essa va pertanto "linearizzata", con le regole di derivazione parziale, in un intorno prossimo ai valori provvisori delle coordinate. La sua forma definitiva è:

 

Con il seguente significato dei termini:

Xi, Yi, Xj, Yj: COORDINATE PROVVISORIE DEI PUNTI i, j. Ad ogni interazione esse vengono modificate.
Dij : distanza misurata.
: distanza tra i punti i,j calcolata dalle coordinate provvisorie di cui sopra.
xi, xj, yi, yj : INCOGNITE del problema. Correzioni da apportare ad X e Y.

 Si sia misurato l'angolo azimutale , nel vertice i fra le direzioni ik e ij. 

L'equazione dell'angolo è :

 

 

 Anche questa equazione non è lineare. La sua forma linearizzata è:

: sono i valori calcolati dalle coordinate provvisorie x, y , per ogni iterazione.

Organizzando i dati (misure, incognite) in forma matriciale, un sistema di equazioni di osservazione può essere scritto in forma compatta

V = AX + L

dove

V : Vettore dei residui di ogni equazione.
A : Motrice dei coefficienti delle equazioni di osservazione.
X : Vettore delle correzioni incognite (Xi, Ji, Xj, Jj) da applicare alle coordinate.
L : Vettore dei termini noti di ogni equazione. Rappresenta la differenza tra il valore approssimato ed il valore misurato delle grandezze in gioco. Se le osservazioni non hanno la stessa precisione (come naturalmente accade) si introduce il vettore (o matrice diagonale) dei pesi:

 P : Matrice dei pesi delle singole equazioni.

La soluzione ai "minimi quadrati" per la ricerca del vettore delle soluzioni X si ottiene applicando le condizioni di minimo

VTPV = MINIMO

all'equazione V = AX + L . Si ottiene così l'equazione matriciale normale (A^TPA)X+A^TPL =0

dove A^TPA = N è una matrice quadrata e simmetrica. Il numero delle equazioni normali è uguale al numero n delle incognite; pertanto la soluzione del sistema (chiamato sistema normale) è unica ed è data, in forma matriciale da:

X = - (ATPA)-1 . ATPL

 In conclusione la procedura può essere scomposta nei seguenti passi:

1. Calcolo delle coordinate approssimate dei nuovi punti usando le misure eseguite ed un qualunque schema di calcolo topografico.
2. Calcolo degli elementi del vettore L dei termini noti usando le coordinate di cui al punto 1.
3. Calcolo dei coefficienti delle equazioni di osservazione (matrice A), usando le coordinate approssimate.
4. Calcolo della matrice dei pesi P.
5. Applicazione dell'equazione con i valori correnti di A, P, L, e calcolo delle soluzioni X . Il vettore correzioni X permette di ottenere delle nuove coordinate approssimate.
   Il ciclo di elaborazione riprende dal punto 2 finché si otterranno per X dei valori di entità trascurabile.

Dopo aver calcolato le incognite, alla fine dei cicli di iterazione si passa alla determinazione del loro grado di attendibilità, inteso come parametro globale per tutta la rete.
Questo termine è l' ERRORE QUADRATICO MEDIO DELL'UNITA' DI PESO e si deduce con semplici operazioni sul vettore V dei residui. Si ha infatti

Le conoscenze del parametro  e della matrice N = A^TPA permette il calcolo della matrice U, detta matrice di varianza-covarianza:

U = - (ATPA)-1 .

La matrice U è una matrice quadrata, simmetrica di n righe e colonne (n è il numero delle incognite) e contiene le informazioni fondamentali per esprimere in modo qualitativo e quantitativo le precisioni dei punti calcolati.

 Infatti i termini   che stanno sulla diagonale principale rappresentano le varianze delle coordinate del punto "i" calcolato; i termini laterali  detti covarianze, assieme ai precedenti, definiscono un importante parametro statistico: l'ELLISSE D'ERRORE e  permettono il calcolo dei semiassi (a, b) e dell'orientamento ().

 

  Seguono ora alcuni schemi geometrici tipici.

 

 

 

 

 

 

 Esempio di rete compensata - Parametri delle ellissi d'errore (m)