RIDUZIONE DELLE DISTANZE
Il problema della riduzione delle distanze ad una determinata superficie di riferimento va analizzato nei suoi diversi aspetti in quanto, in relazione allo scopo della misura, si hanno procedure di calcolo anche molto diverse fra loro.
Definiamo intanto alcuni tipi di distanze che sono in gioco nelle diverse situazioni di calcolo topografico:
1 – Distanza inclinata A-B (valore misurato) (D1)
3 - Distanza ridotta all’orizzonte dell’ estremo (B) (D2)
4 - Distanza ridotta al livello del mare (Geode) (D3)
5 - Distanza ridotta al piano di Gauss (cartografica) (D4)
6 - Distanza ridotta al Geode (Sfera locale) di quota assegnata (Qg) (Dg)
Sia D1 la distanza (effettiva) misurata secondo la retta congiungente i punti A e B, si sia inoltre misurato l’angolo zenitale Z del punto B rispetto al punto A e sia nota, anche con l’approssimazione di qualche metro la quota Q del punto A.
Si denoti con D2 la distanza AB valutata secondo il piano orizzontale di A (chiamata semplicemente distanza orizzontale) e sia D3 la distanza sulla superficie di riferimento (chiamata distanza).
Sia inoltre Dg la distanza proiettata su una superficie di riferimento particolare, e molto importante in svariate situazioni della pratica operativa, chiamata Geoide di quota (Qg) o più propriamente SFERA LOCALE di quota Qg.
Sia infine D4 (non rappresentata nel grafico) la distanza trasformata sul piano di Gauss (distanza cartografica) mediante un opportuno modulo di deformazione lineare. (vedi Sistemi di riferimento cartografici)
Elaborazioni
Distanza inclinata A-B (valore misurato in campagna)
Il valore D1 della distanza misurata può essere utilizzato direttamente per l’elaborazione successiva o eventualmente corretto per le condizioni atmosferiche (vedi Correzioni distanze per condizioni atmosferiche)
Distanze ridotte all’orizzonte degli estremi A e/o B
La riduzione delle distanze misurate all’orizzonte di un estremo A o B della misura di attua, in prima approssimazione, con la formula consueta: D2 = D1 * sin (Z).
E’ importante osservare che se la distanza è elevata e lo è pure il dislivello fra i suoi estremi potrebbe non essere trascurabile la convergenza delle verticali passanti per gli estremi A e B (valore dato dall’angolo al centro w ); si rende allora necessario il calcolo del termine correttivo che abbiamo chiamato correzione di convergenza ( D) ed applicarlo alle distanze D2 ridotte all’orizzonte di A e/o B.
Distanza ridotta al livello del mare (Geode) (D3)
Il calcolo rigoroso di D3 a partire da D1 avviene con i seguenti passi:
D2 = D1 * sin (Z)
Indicando ora con D la correzione di convergenza, ovvero la differenza fra D2 e la lunghezza del tratto di distanza orizzontale compreso fra le verticali di A e B:
D3 = R*w = R * arctan((D2-D)/(Q+R))
con R raggio della sfera locale calcolato per la latitudine di A, che su suppone pure nota, anche se in maniera approssimativa.
Per il calcolo di D si ha:
D= D1*cos(Z)*tan(w) = D1*cos(Z)*((D2-D)/(Q+R))
e quindi
D= D1*cos(Z)*D2 / (Q+ D1*cos(Z) + R)
Il termine D1*cos(Z) rappresenta la differenza di quota di B rispetto al piano orizzontale per A e ovviamente la correzione di convergenza è nulla se il punto B si trova su tale piano.
Nel calcolo di D il contributo dei termini Q e D1*cos(Z) a denominatore è sempre in generale trascurabile (a meno che i punti non stiano agli estremi opposti del campo geodetico e con dislivelli di parecchi chilometri); quindi, in forma semplificata:
D = D22 *cot(Z) / R
Si noti che il termine D può avere segno positivo o negativo in relazione al valore di Z. Per osservazioni in elevazione D è positivo, in caso contrario è negativo.
Distanza ridotta al piano di Gauss (cartografica) (D4)
Come spiegato nel capitolo citato, la riduzione della distanza al piano di Gauss avviene, sinteticamente, con i seguenti passi di elaborazione:
Distanza inclinata (D1)
ß
Distanza ridotta all’orizzonte (D2)
ß
Distanza ridotta al Geoide (livello del mare) (D3)
ß
Distanza ridotta al piano di Gauss (cartografica) (D4)
Il valore di D4 ha un significato puramente cartografico; essa può essere utilizzata per tutte quelle applicazioni che interagiscono con rappresentazioni e/o sistemi di riferimento di natura cartografica. D4 non deve essere utilizzata quando le misure hanno come scopo l’esecuzioni di lavori, quali tracciamento di gallerie, funivie, rilievi di bacini idroelettrici, ecc.; infatti in tutte queste situazioni operative il dato di interesse essenziale è la distanza (o l’angolo) riferito ad un piano orizzontale in un determinato punto del terreno e quindi ad una quota caso per caso variabile.
Distanza ridotta al Geoide (Sfera locale) di quota assegnata (Qg) (Dg)
Come accennato al punto precedente, è importante che il topografo abbia ben chiaro lo scopo del suo rilievo e quindi delle misure (distanze, angoli, dislivelli) che gli serviranno nell’elaborazione dei suoi dati.
Qualora lo scopo delle misure non fosse di tipo cartografico puro, nel senso di fornire risultati nei sistemi cartografici nazionali (IGM, Catasto, ecc), bensì di carattere tecnico come sopra illustrato, si impone l’assunzione di una superficie di riferimento che permetta di ottenere risultati (distanze, angoli, coordinate) compatibili con lo scopo stesso del rilievo.
Si tratta, a questo punto, di introdurre una nuova superficie di riferimento collocata altimetricamente in prossimità della zona rilevata o addirittura coincidente con uno dei suoi punti: si parla in questo caso di Sfera locale di quota assegnata (Qg).
Riferendoci al grafico iniziale chiamiamo Dg la distanza fra i punti A e B proiettata su una superficie di riferimento (Sfera locale) ad una quota (Qg) scelta dal topografo in relazione allo scopo del rilievo.
Le elaborazioni avvengono nel seguente ordine:
D2 = D1 * sin (Z)
D = D22 *cot(Z) / R
Dalla D3 = R*w = R * arctan((D2-D)/(Q+R)) ponendo w=tan(w)= (D2-D)/(Q+R)
Si ottiene la forma semplificata D3=R*(D2-D)/(Q+R)che, con approssimazione lecita può assumere la forma definitiva utilizzata nella pratica:
D3= (D2-D) * (R/(R+Q)
Sostituendo R con (R+Qg) , raggio della nuova sfera locale, si ottiene:
Dg = (D2-D) * (R +Qg)/(R+Q)
Il rapporto (R +Qg)/(R+Q) può essere > o < di 1, e pertanto la distanza D2 può subire una contrazione o dilatazione in relazione alla quota assunta per la Sfera locale.
La tabella che segue fornisce una serie di valori per D in relazione a diverse situazioni operative. Essa può essere utilizzata per stabilire quando, in funzione della precisione del rilievo, il contributo del termine D può essere trascurato.
D = D22 *cot(Z) / R
| Z/D | 300 | 500 | 1000 | 2000 | 5000 |
| 100 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 90 | 0.002 | 0.006 | 0.025 | 0.099 | 0.622 |
| 80 | 0.005 | 0.013 | 0.051 | 0.204 | 1.275 |
| 70 | 0.007 | 0.020 | 0.080 | 0.320 | 2.000 |
Gli angoli zenitali (Z) sono espressi in gradi centesimali, le distanze ed i valori calcolati di D sono espressi metri.
Esempio-1
Segue ora un esempio di poligonale elaborata sul piano di Gauss.
Lo scopo del rilievo era quello di fornire le coordinate Gauss-Boaga di una serie di vertici di raffittimento di una rete catastale preesistente.
Si notano il modulo di deformazione medio della zona interessata (0.9999331) ed i moduli di deformazione per i singoli lati di poligonale.
La tabella dei dati presenta per ogni lato le correzioni di convergenza in andata e ritorno e le distanze ridotte nelle varie fasi del calcolo (Orizzonte -> Geoide -> Gauss).
Esempio-2
Vediamo ora un esempio di applicazione del GEOIDE di QUOTA.
Le operazioni di calcolo e compensazione della rete sono state condotte nelle seguenti ipotesi:
- - rete contenuta nel campo topografico
- - riduzione delle distanze al geode (sfera locale) passante per la quota 1200 m.
Per giustificare le ragioni di tali scelte occorre risalire alle finalità del rilievo. La rete sarà utilizzata per il tracciamento di un’opera di ingegneria civile ed è pertanto necessario utilizzare un sistema di riferimento che abbia i seguenti requisiti:
- - le distanze calcolate utilizzando le coordinate dei punti devono essere per quanto possibile equivalenti a quelle misurate sul terreno in corrispondenza dell’opera da realizzare;
- - gli angoli, calcolati come differenza di angoli di direzione utilizzando le coordinate dei punti che li definiscono, devono essere uguali a quelli misurati sul terreno.
Solo se queste condizioni sono verificate è possibile effettuare operazioni di tracciamento, ossia di riporto sul terreno di punti noti solo come coordinate.
Per quanto riguarda la scelta della quota di riferimento è importante notare che la riduzione delle distanze al geoide, se si considera la quota assoluta dei punti, raggiunge valori notevoli.
Infatti l’opera in oggetto (galleria del Frejus) si sviluppa ad una quota media di 1200 m e pertanto 10 Km effettivi di galleria risulterebbero ridotti, se proiettati sul geoide, a
L0 = L1200 (1-Q/R) = 10000 * (1-1200/6.37*106) = 9998.125 m
cioè la galleria dovrebbe essere considerata quasi 2 m più corta del suo reale sviluppo.
(A) Tabella misure rete geodetica galleria del Frejus
B) Schema rete e risultati della compensazione:
Si rammenta, a conclusione di questo esempio, che la rete in oggetto presentava vertici con quote variabili da 1200 a oltre 3000 m; ciò può aiutare a meglio comprendere i valori di correzione presenti nella tabella (A), realmente notevoli se confrontati con le precisioni degli strumenti impiegati. In situazioni di questo tipo l’adozione di una superficie di riferimento di tipo non cartografico è una scelta oltre che corretta anche obbligata.
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